Pour finir avec le code, j’utilise les macros EXPECT_EQ et autres de Google Test<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Tous les exemples sont sur mon GitHub https:\/\/github.com\/Rominitch\/myBlogSource\/<\/a> dans Matrix_Quaternion.<\/p>\n\n\n\n Dans les exemples, on va utiliser la convention d’\u00e9criture suivante:<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Les indices 0,1,2,3, \u2026 d\u00e9signent aussi l’adresse m\u00e9moire de chaque case.<\/p>\n\n\n\n Et donc on va s’autoriser \u00e0 \u00e9crire: Je ne sais pas si c’est une “vraie” convention d’\u00e9criture mais en tout cas elle est tr\u00e8s proche du code.<\/p>\n\n\n\n Pour des raisons de simplification et avoir des sch\u00e9mas faciles \u00e0 lire, on va travailler dans le plan Z=0. J’ai mon rep\u00e8re orthonorm\u00e9 O avec son axe X et son axe Y, Z \u00e9tant vers nous. Bref c’est du classique.<\/p>\n\n\n\n Les matrices de transformation homog\u00e8nes (que l’on nommera matrice par la suite) nous permet d’appliquer une transformation g\u00e9om\u00e9trique (plus ou moins complexe) \u00e0 un vecteur ou point.<\/p>\n\n\n\n Je vais partir du principe que vous savez les manipuler (en gros faire l’ addition\/multiplication\/transpos\u00e9\/inversion) ou que votre programme\/biblioth\u00e8que sait tr\u00e8s bien le faire pour vous !<\/p>\n\n\n\n Voici les principales formes de matrice de transformation qu’on utilise.<\/p>\n\n\n\n On va prendre une approche na\u00efve du probl\u00e8me. Pour commencer, on va utiliser les matrices pour translater notre point. On lit facilement Donc on retrouve bien notre point B.<\/p>\n Alors c’est l\u00e0 que les choses se compliquent car en fait on a pas vraiment appliquer un vecteur de translation. Il faut voir cette op\u00e9ration comme un changement de point de vue. Notre objet n’a pas \u00e9t\u00e9 chang\u00e9 mais c’est plut\u00f4t l\u00e0 o\u00f9 on le regarde. Leur forme est la suivante:<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Voici le “vrai” sch\u00e9ma de ce qui c’est pass\u00e9: Donc notre matrice de translation va cr\u00e9er un autre rep\u00e8re M qui a trois vecteurs x,y,z identiques au premier. On remarque que :<\/p>\n Mais il reste un dernier point important a expliqu\u00e9 : Si B est exprim\u00e9 dans le rep\u00e8re O, A est exprim\u00e9 dans quel rep\u00e8re ? J’appelle rep\u00e8re Finalement, on a d\u00e9finit deux rep\u00e8res O et M. Le point A est exprim\u00e9 dans le rep\u00e8re M et B dans le rep\u00e8re O. Notre matrice fait une transformation du rep\u00e8re M vers O. On vient d’ajouter une notion importante \u00e0 notre matrice: son sens d’application. Pour conclure :<\/p>\n\n\n\n Pour la suite, on va donc former nos matrices dans le sens: locale vers rep\u00e8re sup\u00e9rieur car elles sont beaucoup plus facile \u00e0 former.<\/p>\n\n\n\n En anglais, on parle de Global\/World et Local (coordinate).<\/p>\n\n\n\n La matrice de rotation va donc nous permettre de d\u00e9finir la base de notre syst\u00e8me. On va utiliser des vecteurs normalis\u00e9s. <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Il est facile par exemple d’\u00e9crire la matrice de rotation de On peut facilement lire que Pour ceux qui connaissent par c\u0153ur leur matrice de rotation autour de En normalisant chacun des vecteurs et rempla\u00e7ant, on trouve la matrice<\/p>\n\n\n\n Appliquons la matrice sur cette exemple: <\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Cool ! C’est exactement le bon r\u00e9sultat.<\/p>\n\n\n\n Pour conclure :<\/p>\n\n\n\n Sur un mod\u00e8le complexe, la rotation donnera la repr\u00e9sentation suivante:<\/p>\n\n\n\n Une nouvelle question s’offre \u00e0 nous : comment tourner autour d’un autre point ? Hum … On verra cela en fin d’article.<\/p>\n\n\n\n Finissons notre tour des matrices avec l\u2019homoth\u00e9tie. Ici, la forme est facile \u00e0 comprendre on va “\u00e9tirer” notre objet sur chaque dimension. Dans l’exemple suivant, on va r\u00e9duire notre rep\u00e8re par deux sur toutes les dimensions. Finalement voici l’effet sur notre petit robot.<\/p>\n\n\n\n Voici quelques remarques:<\/p>\n\n\n\n En conclusion de cette premi\u00e8re partie, on a pu voir que la formation des matrices reste facile m\u00eame si la rotation demande quelques calculs mais cela reste analysable (lors de vos phases de debug).<\/p>\n\n\n\n G\u00e9n\u00e9ralement, ce qui va nous int\u00e9resser c’est de les composer afin de transformer nos points\/vecteurs le plus rapidement possible (soit le moins d’op\u00e9ration processeur possible).<\/p>\n\n\n\n Petit rappel important: Donc l’ordre des op\u00e9rations est super important mais la r\u00e8gle est simple :<\/p>\n\n\n Par simplification d’\u00e9criture, je vais appeler ces matrices compos\u00e9es: matrices HRT. On va dans un premier temps calculer la compos\u00e9e:<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Si on applique cette nouvelle matrice sur le point <\/span> <\/span> Comme on l’a vu pr\u00e9c\u00e9demment, la matrice de rotation tourne autour de l’origine de notre rep\u00e8re. Mais on veux souvent tourner autour d’un autre point: voici la m\u00e9thodologie simple.<\/p>\n\n\n\n 3. On applique la matrice de rotation.<\/p>\n\n\n\n Au final, la transformation se traduit par: une translation + une rotation + une translation. On va chercher \u00e0 voir par l’exemple si la composition de cette matrice existe: On va partir de cet exemple: C’est parti :<\/p>\n\n\n\n Et maintenant, on l’applique \u00e0 nos points<\/p>\n\n\n\n <\/span> <\/span> Je vous laisse faire le calcul pour C et vous verrez qu’on retrouve bien A et inversement. Pour info, un dernier petit sch\u00e9ma:<\/p>\n\n\n\n Finalement, on conclue que nos matrices HRT peuvent \u00eatre cumuler et mis en cascade : c’est ce point qui nous sera tr\u00e8s utile lors de leur utilisation dans le graphe de sc\u00e8ne.<\/p>\n\n\n\n On a vu :<\/p>\n\n\n\n A ce stade, on a tous les outils pour utiliser nos matrices dans un graphe de sc\u00e8ne. Merci d’avoir lu cet article !<\/p>\n\n\n\n N’h\u00e9sitez pas \u00e0 le partager, \u00e0 me signaler les probl\u00e8mes, et aussi commenter afin d’en faire un outils dynamique et constructif !<\/p>\n\n\n\n Wikipedia : Produit matriciel<\/a> Bonjour \u00e0 tous, aujourd’hui\u00a0on va parler math\u00e9matiques appliqu\u00e9s si possible de mani\u00e8re simple car on va parler de matrice & quaternion. Le but de ces articles est de correctement les utiliser dans un graphe de sc\u00e8ne et notamment pour le calcul de la “modelview-projection”.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":95,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[46,10,3,13,50],"class_list":["post-5","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-maths","tag-c-fr","tag-homogene-fr","tag-glm-fr","tag-homothetie-fr","tag-matrice-fr"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5"}],"version-history":[{"count":130,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":589,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5\/revisions\/589"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/95"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Notation<\/h2>\n\n\n\n
Notation simple<\/h3>\n\n\n\n
![\"{\color{myB}r} = {\color{myR}m} \times {\color{myG}v}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebdb6d1b123151ff52ff7075b1b72686_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\nNotation \u00e9tendue<\/h3>\n\n\n\n
![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8c9165bc15fab1c2fe6e24298897ece_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/center>\n<\/div>\n\n\n\nCode source \u00e9quivalent<\/h3>\n\n\n
\nglm::mat4 matrix(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 vector(2.0f, 3.0f, 4.0f, 1.0f);\nglm::vec4 result = matrix * vector;\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
![\"{\color{myB}mvp} = {\color{myR}p} \times ({\color{myG}v} \times {\color{myY}m})\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ed561f7dfca4198486993859de11525_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c50c6f87a955dfbfd8eb927d84d96ab2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nglm::mat4 m(0.5f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.5f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::mat4 v(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::mat4 p(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,\n 1.0f, 2.0f, 3.0f, 1.0f);\nglm::mat4 result = p * (v * m);\nglm::mat4 mvp(0.0f, 0.5f, 0.0f, 0.0f, \n 0.5f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 0.5f, 0.0f,\n 1.0f, 2.0f, 3.0f, 1.0f);\nEXPECT_EQ(mvp, result);\nEXPECT_NE(mvp, m * v * p);\n<\/pre><\/div>\n\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
On reste bien en 3D dans notre logique et nos formules.<\/p>\n\n\n\n
Les unit\u00e9s d\u00e9pendent des longueurs des vecteurs x et y.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/classic_repere-290x216.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nLes Matrices<\/h1>\n\n\n\n
Rappel: les principales formes<\/h2>\n\n\n\n
La translation T<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4ef98458b31c38fb97046be15df5600_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\nLa rotation R<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-592e69d50608a0c0fc67bc8790172ea6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\nL\u2019homoth\u00e9tie S<\/h4>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-007cf9abd0b5f5bd5a3da74b3ddd98c4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n\n\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\nProbl\u00e8me 1: Qu’est-ce qu’une matrice de transformation ? et comment les forme-t-on ?<\/h2>\n\n\n\n
Translation et repr\u00e9sentation de ce qu’est une matrice<\/h3>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/translation-1-300x228.png\"){kind=spacer}
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
J’ai le sch\u00e9ma suivant: je veux d\u00e9placer mon point A vers le point B.<\/p>\n\n\n\n![\"{\color{myB}A(1, 1, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bdc660f383432c74d2321422ddf7cc0_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"{\color{myO}B(3, 2, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40460bb976a15091ee90b612c868baed_l3.png\" "\\"Rendered")
donc le vecteur de translation est ![\"{\color{myR}\vec{AB}(2, 1, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-548587ebbc13ec40e3161ed60dc5d60c_l3.png\" "\\"Rendered")
.
On va substituer les valeurs “t” de notre matrice par ce vecteur et calcul la multiplication avec A.<\/p>\n\n\n\n![\"\begin{array}{c c}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a8f12d6c20272d1451031b454ebb866_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nglm::vec4 b( 3.0f, 2.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 a( 1.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::mat4 t( 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f, \n 2.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f ); \nEXPECT_EQ( b, t * a ); \nglm::mat4 t2( 1.0f ); \/\/ Identity\nt2 = glm::translate( t2, glm::vec3( 2.0f, 1.0f, 0.0f ) );\nEXPECT_EQ( b, t2 * a );\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
\n
Math\u00e9matiquement, les matrices nous permettent de faire un changement de rep\u00e8re (base).<\/p>\n![\"\begin{align*}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fdc2fa4356aaaabee3e39407928039_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/center>\n\n\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/repere-1-300x229.png\")
<\/p>\n\n
![\"\vec{OA} = \vec{MB}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fef4c241ffabd74a2c445cf04c92d465_l3.png\" "\\"Rendered")
donc le dessin initiale (ici juste un point) ne bouge pas par rapport au rep\u00e8re.<\/li>\n![\"O\vec{x}\vec{y}\vec{z}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8902e1585c503437d146cbd8bdebb79_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li>\n<\/ul>\n
La r\u00e9ponse est : dans le rep\u00e8re M.<\/p>\n![\"\mathscr{M}_{X\vec{x}\vec{y}\vec{z}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9acfdb439811e942bc31780c78f8ac04_l3.png\" "\\"Rendered")
, le rep\u00e8re d\u00e9finit par une origine X et sa base ![\"\vec{x}\vec{y}\vec{z}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d07f41815847b6233f1b347bb8a18e5_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Il a son propre rep\u00e8re ![\"\mathscr{M}_{R\vec{s}\vec{t}\vec{r}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b1db294640a08585ebd4914e5485403_l3.png\" "\\"Rendered")
et un point ![\"{\color{myG}E(1, 1, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02248713abd724916eb29955a38b0da3_l3.png\" "\\"Rendered")
pour son \u0153il.<\/li><\/ol>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\mathscr{M}_{O\vec{x}\vec{y}\vec{z}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0716ba02663006986801227ba1fc24d6_l3.png\" "\\"Rendered")
. Et un autre rep\u00e8re ![\"\mathscr{M}_{M\vec{u}\vec{v}\vec{w}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-550c35d584366e20e9002bf76c40088e_l3.png\" "\\"Rendered")
qui d\u00e9pends du monde O car le point M est d\u00e9fini dans O.<\/li><\/ol>\n<\/div>\n\n\n\n), je vais transformer mon point E soit en A ou B pour le rep\u00e8re O.<\/li><\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/robo1-1.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/robo2-290x220.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/robo3-290x220.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Le rep\u00e8re O va s’appeler le rep\u00e8re sup\u00e9rieur de M car M est d\u00e9fini par rapport \u00e0 O : on a une notion de hi\u00e9rarchie.<\/p>\n\n\n\n
Pour changer de sens, il faut tout simplement appliquer une inversion de matrice car les matrices de transformation pr\u00e9c\u00e9dentes sont toutes inversibles.<\/p>\n\n\n\nLa rotation<\/h3>\n\n\n\n
La forme de la matrice est la suivante:<\/p>\n\n\n\n![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33e8fae22980447dd8ec35fc4e45b518_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\frac{PI}{4}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c696d1c7f980d95b8ec929b5ae774367_l3.png\" "\\"Rendered")
par rapport \u00e0 ![\"\vec{z}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe25dcb2a0e83df97cac680b41305d43_l3.png\" "\\"Rendered")
.
On part du sch\u00e9ma suivant :<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotation_without_norm-1-300x192.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n![\"\color{myM}{\vec{x} = (1, 1, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2e361d60144419a94612f77b8cca1e1_l3.png\" "\\"Rendered")
, ![\"\color{myY}{\vec{y} = (-1, 1, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97efbf16ed14e427fb3147368deb64d3_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"\color{myB}{\vec{z} = (0, 0, 1)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-884c8afd01570f08dbb8c26306ae71ba_l3.png\" "\\"Rendered")
.
Je pose ![\" C = \frac{1}{\sqrt{2}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69766f98174d4d0603c07cff0544cf51_l3.png\" "\\"Rendered")
soit ![\"\frac{1}{longueur du vecteur}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31ed7fd59144c29024be2b92de01adb7_l3.png\" "\\"Rendered")
cela va me permettre de normaliser mes vecteurs. En fait, ![\" C = cos(\frac{PI}{4}) = sin(\frac{PI}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4daf823960f4c3a90149eccfe804856a_l3.png\" "\\"Rendered")
. <\/p>\n\n\n\n![\"\vec{Z}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76af122d9ba98d937403aa24a29883b7_l3.png\" "\\"Rendered")
, les sin() et cos() sont bien pr\u00e9sents.<\/p>\n\n\n\n![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-231e19d3fe5bed969431c52ef1ed0c9c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nconst float pi_4 = 0.785398163397448309616f;\nconst float C = 1.0f \/ sqrt(2.0f);\n\/\/ Matrice manuelle\nglm::mat4 r( C, C, 0.0f, 0.0f, \n -C, C, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\n\/\/ En utilisant l'API glm \nglm::mat4 r1(1.0f); \/\/ Identity\nr1 = glm::rotate(r1, pi_4, glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));\nEXPECT_EQ(r, r1);\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
![\"\color{myR}{A = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acb32d2f47d7493b7fd7205c2a0c28fc_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"\color{myB}{B = (\frac{C}{3}, C, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d3e44d8a8406551ca06e68e6b859e5e_l3.png\" "\\"Rendered")
(c’est assez facile \u00e0 calculer juste avec le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et en remarquant que OA = coordonn\u00e9e y de B)<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotation_point-1-300x215.png\")
<\/p>\n![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cead821fc733039de081a10ed4a03e55_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nconst float C = 1.0f \/ sqrt(2.0f); \nglm::mat4 r( C, C, 0.0f, 0.0f, \n -C, C, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 a(2.0f\/3.0f, 1.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 b( C\/3.0f, C, 0.0f, 1.0f);\nEXPECT_EQ(b, r * a);\n<\/pre><\/div>\n\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
.<\/li><\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotation-1-300x219.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nEt pour finir l’homoth\u00e9tie<\/h4>\n\n\n\n
Chaque facteur d’agrandissement est d\u00e9fini dans l’ensemble ![\"\mathbb{R}_{+}^{*}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e13eb3923d259cfa740699955ee93a3_l3.png\" "\\"Rendered")
.
Quand il est sup\u00e9rieur 1 : on agrandie, et entre 0 et 1 : on r\u00e9duit.<\/p>\n\n\n\n
Cette fois-ci, on va prendre deux points afin de mieux comprendre le ph\u00e9nom\u00e8ne.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/scaling.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n![\"\begin{array}{c c}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac9f9220c54d6dbdbb8f96abff7027ed_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nglm::vec3 h(0.5f, 0.5f, 0.5f);\nglm::mat4 m(h.x, 0.0f, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, h.y, 0.0f, 0.0f, \n 0.0f, 0.0f, h.z, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::mat4 m1(1.0f); \/\/ Identity \nm1 = glm::scale(m1, h);\nEXPECT_EQ(m1, m);\nglm::vec4 a(2.0f\/3.0f, 1.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f); \nglm::vec4 b(1.0f, 1.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f); \nglm::vec4 c(1.0f\/3.0f, 1.0f\/6.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 d(1.0f\/2.0f, 1.0f\/6.0f, 0.0f, 1.0f); \nEXPECT_EQ(c, m * a); \nEXPECT_EQ(d, m * b);\n<\/pre><\/div>\n\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/scaling_object.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n.<\/li>![\"\frac{2}{3}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3b766245d69c7b7ccf6b63420b0fa46_l3.png\" "\\"Rendered")
du vecteur et le point D est \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 du vecteur.<\/li><\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\nProbl\u00e8me 2: La composition<\/h2>\n\n\n\n
LE PRODUIT MATRICIEL N’EST PAS COMMUTATIVE SOIT ![\" m \times n \neq n \times m\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5aba3e49bd192e3b8db5d9fdfa5a8d01_l3.png\" "\\"Rendered")
!<\/p>\n\n\n\n![\" \color{myM}{Compose} = \color{myB}{Translation} \times \color{myR}{Rotation} \times \color{myG}{Homothetie} \"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ca34065e4cc5fbe1ca1d335ca9b5873_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center><\/p>\n\n\n\n
On va quand m\u00eame prendre un exemple pour se le prouver.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/composition_simple-300x194.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n![\"\begin{array}{c c c}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cc49b1be4b1dcc7fb61a31513000440_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nconst float PI = 3.14159265358979323846f;\n\nglm::mat4 s = glm::scale(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(0.5f, 0.5f, 0.5f));\nglm::mat4 r = glm::rotate(glm::mat4(1.0f), PI*0.5f, glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));\nglm::mat4 t = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(11.0f\/6.0f, 0.5f, 0.0f));\n\n \nglm::mat4 m(0.0f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,\n -0.5f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.5f, 0.0f,\n 11.0f\/6.0f, 0.5f, 0.0f, 1.0f);\nglm::mat4 c = t * r * s;\n \n\/\/ Near expected\nfor(int rawID=0; rawID < 4; ++rawID)\n{\n for(int columnID=0; columnID < 4; ++columnID)\n {\n EXPECT_NEAR(m[rawID][columnID], c[rawID][columnID], 1e-6f);\n }\n}\n\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\color{myR}{A}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbb19a78e088df59e0ee9268cff9e26b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n![\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-674feac095ed76d93efc299c89cf8c99_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nglm::mat4 m(0.0f, 0.5f, 0.0f, 0.0f, \n -0.5f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 0.5f, 0.0f,\n 11.0f\/6.0f, 0.5f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 a(2.0f\/3.0f, 1.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 b(5.0f\/3.0f, 5.0f\/6.0f, 0.0f, 1.0f);\nglm::vec4 mul = m * a;\n\/\/ Near expected\nfor(int columnID=0; columnID < 4; ++columnID)\n{\n EXPECT_NEAR(b[columnID], mul[columnID], 1e-6f);\n}\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\nRotation autour d’un autre point<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotate1.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\vec{BO}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84e29a1e75d28d8525aa21a3d0fd0209_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li><\/ol>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotate2.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotate3-206x220.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\vec{OB}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-518be52fc2717b229c6fe4b45cbf209d_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li><\/ol>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotate4-290x220.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Mais on a vu que la composition permet de former une matrice HRT mais peut-on en combiner plusieurs ?<\/p>\n\n\n\n![\" \color{myM}{Composé} = \color{myB}{Translation\vec{OP}} \times \color{myR}{Rotation} \times \color{myG}{Translation\vec{PO}} \"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23e5598865cff60971256a36dbe7d9f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"{\color{myG}A(1, 2, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9130d3769137e6ff990df179bc1e1f7_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"{\color{myB}B(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e223b036f6a0c22b5f08a6b79ca49896_l3.png\" "\\"Rendered")
des points de l’objet, on souhaite appliquer une rotation de ![\"\frac{\pi}{2}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b40d4729101107a208fc1dfcffeb5002_l3.png\" "\\"Rendered")
autour de A.
Ce qui va nous donner les points ![\"{\color{myG}C(1, 2, 0) = A}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cceeb0aebf6e1ebb028eaa72a383406f_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"{\color{myO}D(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, 0)}\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84f0caa4f354dd1248487a49d35419d7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotatePoint1.png\")
<\/figure><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/rotatePoint2.png\")
<\/figure><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\begin{array}{c c c}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-033af244631982abeb52fab5b85e1c7a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nconst float PI = 3.14159265358979323846f;\nglm::mat4 m( 0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n -1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,\n 3.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f );\nglm::mat4 op = glm::translate( glm::mat4( 1.0f ), glm::vec3( 1.0f, 2.0f, 0.0f ) );\nglm::mat4 po = glm::inverse( op ); \nglm::mat4 r = glm::rotate( glm::mat4( 1.0f ), PI*0.5f, glm::vec3( 0.0f, 0.0f, 1.0f ) ); \nglm::mat4 c = op * r * po; \n\/\/ Near expected \nfor( int rawID=0; rawID < 4; ++rawID )\n{ \n for( int columnID=0; columnID < 4; ++columnID ) \n {\n EXPECT_NEAR( m[rawID][columnID], c[rawID][columnID], 1e-6f );\n }\n}\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n![\"\begin{align*}](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8096574190e041787a98bfa411e3bb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/center>\n<\/div>\n\n\n\n\nglm::mat4 m( 0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,\n -1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,\n 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,\n 3.0f, 1.0f, 0.0f, 1.0f );\nglm::vec4 a( 1.0f, 2.0f, 0.0f, 1.0f );\nglm::vec4 b( 4.0f\/3.0f, 4.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f );\nglm::vec4 c( 1.0f, 2.0f, 0.0f, 1.0f ); glm::vec4 d( 5.0f\/3.0f, 7.0f\/3.0f, 0.0f, 1.0f );\nEXPECT_EQ( c, m * a );\nglm::vec4 computed = m * b;\n\/\/ Near expected\nfor( int columnID=0; columnID < 4; ++columnID )\n{\n EXPECT_NEAR( d[columnID], computed[columnID], 1e-6f );\n}\n<\/pre><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Cette solution est facile \u00e0 comprendre et assez intuitive et en plus elle se fait en une seule multiplication matricielle.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/mouca.fr\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/all_rotate.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nConclusion<\/h1>\n\n\n\n
Mais avant, je souhaiterai passer aux quaternions : Matrice, Quaternion et graphe de sc\u00e8ne – Partie 2<\/a>
Si \u00e0 ce stade les quaternions ne vous branchent pas : Matrice, Quaternion et graphe de sc\u00e8ne – Partie 3<\/a><\/p>\n\n\n\nSources<\/h1>\n\n\n\n
Wikipedia : Transformation matrix<\/a>
Wikipedia : Matrice de passage<\/a>
www.opengl-tutorial.org – Tutorial 3 : Matrices<\/a>
Les transformations g\u00e9om\u00e9triques du plan<\/a>
University of Edinburgh – Transformations – Taku Komura<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"